假设我们已经将两个模拟输入信号数字化。如果我们将数字代码转换回伏特单位并绘制离散时间波形，它们可能会显示如下特征：

通过简单观察波形，我们可以大致估算出平均值：蓝色信号的中心趋势约为 1.2 V，而红色信号的中心趋势约为 0.8 V。然而，仅仅根据平均值来看，我们可能会认为这两个信号的主要区别是 0.4 V 的平均值差异（也称为直流电平或直流偏移）。显然，这并未完整地反映两者的主要特征。

在电气工程领域，我们通常会将这些波形识别为具有一定直流偏移并混杂相当数量噪声的信号（如电源电压）。更重要的是，我们可以直观地判断蓝色信号的噪声水平明显高于红色信号。如果仅考虑平均值，这一关键差异将会被忽略。

噪声的视觉判断

我们之所以能够感知信号中的噪声，主要是因为以下几点：

1. 个别值明显偏离平均值。

2. 这些偏离呈现出随机性。

3. 相对于平均值，偏离幅度通常较小。

对于统计学家而言，离平均值的随机偏差是一种数学概念；但对于电气工程师来说，这种随机偏差就是噪声。

噪声量化：平均偏差

要回答“这些信号的噪声有多大？”这个问题，我们需要更准确地量化偏差。直观的方法是：计算每个数据点与平均值之间的绝对偏差的平均值。这被称为平均偏差，它表示信号值偏离中心趋势的典型量。数学上，其公式为：

$$\text{平均偏差} = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} |x[k] - \mu|$$平均偏差=N1k=0∑N−1∣x[k]−μ∣

其中，$N$N 是数据集中样本的数量，$\mu$μ 是平均值，而$x[k]$x[k] 是表示信号的离散时间函数。

在图示中，水平线分别表示高于和低于平均值一个平均偏差的电压水平。

尽管平均偏差的计算方法很直观，但它并非量化信号偏离平均值的趋势的常用方法。要更全面地分析信号的随机偏差，通常需要使用标准差。

方差和标准差

在电气工程中，平均偏差的一个不足在于它关注的是电压（或电流）差异的幅度平均，而噪声分析更强调功率而非幅度。因此，我们需要一种能在功率域中工作的统计量。

解决方法很简单：将偏差值平方后再求和并平均。这一过程产生了称为方差的统计量，通常表示为$\sigma^2$σ2：

$$\sigma^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{k=0}^{N-1} (x[k] - \mu)^2$$σ2=N−11k=0∑N−1(x[k]−μ)2

方差可以看作是信号随机偏差的平均功率。需要注意的是，方差的单位与输入信号不同。例如，分析电压信号的波动时，方差的单位为 $V^2$V2，而非 $V$V。

如果希望用原始单位来表达信号的随机偏差趋势，我们需要对方差进行平方根运算，得到标准差：

$$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{k=0}^{N-1} (x[k] - \mu)^2}$$σ=σ2=N−11k=0∑N−1(x[k]−μ)2

标准差是信号随机偏差的平均功率的平方根，其单位与输入信号一致。例如，对于电压信号，标准差的单位为 $V$V。

在图示中，水平线分别表示高于和低于平均值一个标准差的电压水平。

方差与标准差的应用

方差和标准差以不同形式表达了相同的信息。在某些分析场景中，方差因其与功率的直接关系而更方便；但在许多情况下，标准差更直观，因为它直接表示信号偏离均值的典型幅度。

无论是方差还是标准差，它们都是分析信号特性和量化噪声水平的重要工具，在电气工程和统计学中有着广泛的应用。