1. 异或操作的定义

• 异或（XOR） 是一种逻辑运算，符号常用 ⊕ 或 ^ 表示。

• 运算规则是：

• 相同为 0

• 不同为 1

也就是说：

2. 异或操作的性质

异或运算具有一些重要的数学性质，在计算机和密码学里非常常用：

1. 交换律
   A ⊕ B = B ⊕ A

2. 结合律
   (A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C)

3. 自反性
   A ⊕ A = 0

4. 与 0 的关系
   A ⊕ 0 = A

5. 可逆性（恢复原值）
   如果 C = A ⊕ B，那么：

   这条性质在加密、数据交换等领域应用非常多。

• A = C ⊕ B

• B = C ⊕ A

3. 异或在二进制中的表现

• 在计算机中，整数由二进制表示。

• 异或运算就是对二进制的每一位分别进行 异或。

例如：

  1011 (二进制，等于 11)⊕ 1101 (二进制，等于 13)= 0110 (二进制，等于 6)

4. 异或操作的应用

(1) 数据交换

不借助第三个变量交换两个数：

a = a ^ b;
b = a ^ b; // 等价于原来的 aa = a ^ b; // 等价于原来的 b

这样 a 和 b 就交换了。

(2) 错误检测

• 异或可用于 校验码（如奇偶校验），通过计算所有比特的异或结果来检查是否发生了错误。

(3) 加密与解密

• 由于异或运算的可逆性，经常用于 简单加密算法。

• 例如：

• 加密：C = P ⊕ K

• 解密：P = C ⊕ K
  （P=明文，C=密文，K=密钥）

(4) 位运算技巧

• 找出只出现一次的数：在一个数组中，除了某个元素只出现一次，其他元素都出现两次，可以用异或快速找出这个数。
  因为相同数两次异或为 0，最后剩下的就是只出现一次的数。

5. 异或与逻辑或、逻辑与的区别

• 与 (AND)：都为 1 才是 1

• 或 (OR)：有一个 1 就是 1

• 异或 (XOR)：不相同才是 1