什么是一阶低通滤波器

**低通滤波器（Low-Pass Filter, LPF）**是一种允许低频信号通过，而抑制高频信号的电路或系统。

• **“一阶”**指的是滤波器的阶数，即它的传递函数分母的最高阶是1。

• 一阶低通滤波器是最简单的低通滤波器，常用在信号处理、模拟电路和数据采集系统中。

一阶低通滤波器的数学模型

（1）RC电路模型

最常见的一阶低通滤波器是RC串联电路：

Vin ---- R ----+---- Vout
               |
               C
               |
              GND

• R：电阻

• C：电容

• Vin：输入电压

• Vout：输出电压（跨C两端）

（2）微分方程描述

根据电容电流公式 $i = C \frac{dV_C}{dt}$，电阻电压 $V_R = i R$，有：

$$V_{in}(t) = V_R + V_C = R C \frac{dV_{out}}{dt} + V_{out}(t)$$

整理为一阶线性微分方程：

$$RC \frac{dV_{out}}{dt} + V_{out} = V_{in}$$

这里，$\tau = RC$ 是时间常数。

频域分析（传递函数）

对输入输出做拉普拉斯变换：

$$V_{out}(s) = \frac{1}{RCs + 1} V_{in}(s)$$

于是得到传递函数：

$$H(s) = \frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)} = \frac{1}{1 + sRC}$$

将 $s = j\omega$（ω 为角频率），得到频率响应：

$$H(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega RC}$$

• 幅值响应：

$$|H(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}$$

• 相位响应：

$$\phi(\omega) = -\arctan(\omega RC)$$

截止频率

一阶低通滤波器有一个3dB截止频率：

$$f_c = \frac{1}{2\pi RC}$$

• 低于 $f_c$ 的频率，信号几乎不衰减。

• 高于 $f_c$ 的频率，信号开始衰减，幅度按每倍频程约 20 dB/dec 降低。

电路特性总结

时域响应特性

• 阶跃响应（输入为阶跃信号）：

$$V_{out}(t) = V_{in}\left(1 - e^{-t/RC}\right)$$

• 意义：滤波器对高频突变信号有“平滑”作用。

总结原理

1. 低频信号：RC 电路阻抗低，电压基本通过 → 信号通过

2. 高频信号：电容阻抗小，电压大部分被旁路到地 → 信号被衰减

3. 时间常数 RC 决定滤波器响应快慢

4. 频率域表现：幅度随频率增加逐渐衰减，截止频率决定“过渡点”